Упр.36.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$(\cos 10^\circ+i\sin 10^\circ)(-9)$$; б) $$(\cos 10^\circ-i\sin 10^\circ)(-3)$$; в) $$(\cos 10^\circ+i\sin 10^\circ)(-12)$$; г) $$(\cos 80^\circ-i\sin 80^\circ)(-18)$$.

Используем формулу Муавра и периодичность тригонометрических функций:

$$(\cos \varphi + i\sin \varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi$$

1. $$(\cos 10^\circ+i\sin 10^\circ)^{-9} =\cos(-90^\circ)+i\sin(-90^\circ)$$
   $$=\cos 90^\circ-i\sin 90^\circ =0-i=-i$$

2. $$(\cos 10^\circ-i\sin 10^\circ)^{-3} =\cos(-30^\circ)-i\sin(-30^\circ)$$
   $$=\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

3. $$(\cos 10^\circ+i\sin 10^\circ)^{-12} =\cos(-120^\circ)+i\sin(-120^\circ)$$
   $$=\cos 120^\circ-i\sin 120^\circ =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

4. $$(\cos 80^\circ-i\sin 80^\circ)^{-18} =\cos(-1440^\circ)-i\sin(-1440^\circ)$$
   $$=\cos 360^\circ+i\sin 360^\circ =1$$

Ответ: а) $$-i$$; б) $$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$; в) $$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$; г) $$1$$.