Упр.36.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$z=2\left(\cos 0{,}2\pi+i\sin 0{,}2\pi\right)$$. Верно ли, что:
   а) $$z^4$$ принадлежит первой координатной четверти;
   б) $$z^4$$ принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше $$\sqrt{300}$$;
   в) $$z^8$$ принадлежит третьей координатной четверти;
   г) $$z^8$$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше $$100$$?

Пусть $$z=2(\cos 0{,}2\pi+i\sin 0{,}2\pi).$$

1. Найдём четвёртую степень:

   $$z^4=2^4\bigl(\cos(4\cdot 0{,}2\pi)+i\sin(4\cdot 0{,}2\pi)\bigr) =16(\cos 0{,}8\pi+i\sin 0{,}8\pi).$$

   Так как $$\frac{\pi}{2}<0{,}8\pi<\pi,$$ то число $$z^4$$ лежит во второй координатной четверти, а не в первой.

   Кроме того, $$|z^4|=16,$$ и $$16<\sqrt{300}.$$

2. Найдём восьмую степень:

   $$z^8=2^8\bigl(\cos(8\cdot 0{,}2\pi)+i\sin(8\cdot 0{,}2\pi)\bigr) =256(\cos 1{,}6\pi+i\sin 1{,}6\pi).$$

   Так как $$\frac{3\pi}{2}<1{,}6\pi<2\pi,$$ то число $$z^8$$ лежит в четвертой координатной четверти, а не в третьей.

   Также $$|z^8|=256,$$ и $$256>100.$$

Ответ: а) неверно; б) верно; в) неверно; г) верно.