Упр.35.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких действительных значениях параметра $$a$$:
   а) уравнение $$z^2-2z+a=0$$ имеет корень $$1+i$$;
   б) уравнение $$z^2+6z+a=0$$ имеет корень $$i-3$$;
   в) уравнение $$z^2-8z+(a^2+9)=0$$ имеет корень $$4-3i$$;
   г) уравнение $$z^2+10z+(a^2+4a+5)=0$$ имеет корень $$-5+i$$?

Подставим данный корень в каждое уравнение и найдём параметр $$a$$.

1. $$z^2-2z+a=0,\quad z=1+i$$

   $$(1+i)^2-2(1+i)+a=0$$
   $$1+2i+i^2-2-2i+a=0$$
   $$1+2i-1-2-2i+a=0$$
   $$a-2=0$$
   $$a=2.$$

2. $$z^2+6z+a=0,\quad z=i-3$$

   $$(i-3)^2+6(i-3)+a=0$$
   $$i^2-6i+9+6i-18+a=0$$
   $$-1-9+a=0$$
   $$a=10.$$

3. $$z^2-8z+(a^2+9)=0,\quad z=4-3i$$

   $$(4-3i)^2-8(4-3i)+(a^2+9)=0$$
   $$16-24i+9i^2-32+24i+a^2+9=0$$
   $$16-9-32+9+a^2=0$$
   $$a^2-16=0$$
   $$a^2=16$$
   $$a=\pm 4.$$

4. $$z^2+10z+(a^2+4a+5)=0,\quad z=-5+i$$

   $$(-5+i)^2+10(-5+i)+(a^2+4a+5)=0$$
   $$25-10i+i^2-50+10i+a^2+4a+5=0$$
   $$-1-20+a^2+4a+5=0$$
   $$a^2+4a-16=0$$
   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-16)=16+64=80$$
   $$a=\frac{-4\pm\sqrt{80}}{2}=-2\pm 2\sqrt5.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$10$$; в) $$\pm 4$$; г) $$-2\pm 2\sqrt5$$.