Упр.35.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: а) $$i$$ и $$-i$$; б) $$7+2i$$ и $$7-2i$$; в) $$7i$$ и $$-7i$$; г) $$1+i$$ и $$1-i$$.

Для квадратного уравнения с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$ удобно использовать формулу

$$\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0.$$

1. Корни $$i$$ и $$-i$$:

   $$\left(x-i\right)\left(x+i\right)=0,$$

   $$x^2+1=0.$$

2. Корни $$7+2i$$ и $$7-2i$$:

   $$\left(x-(7+2i)\right)\left(x-(7-2i)\right)=0,$$

   $$\left(x-7-2i\right)\left(x-7+2i\right)=0,$$

   $$\left(x-7\right)^2-(2i)^2=0,$$

   $$x^2-14x+49+4=0,$$

   $$x^2-14x+53=0.$$

3. Корни $$7i$$ и $$-7i$$:

   $$\left(x-7i\right)\left(x+7i\right)=0,$$

   $$x^2-(7i)^2=0,$$

   $$x^2+49=0.$$

4. Корни $$1+i$$ и $$1-i$$:

   $$\left(x-(1+i)\right)\left(x-(1-i)\right)=0,$$

   $$\left(x-1-i\right)\left(x-1+i\right)=0,$$

   $$\left(x-1\right)^2-i^2=0,$$

   $$x^2-2x+1+1=0,$$

   $$x^2-2x+2=0.$$

Ответ: а) $$x^2+1=0$$; б) $$x^2-14x+53=0$$; в) $$x^2+49=0$$; г) $$x^2-2x+2=0$$.