Упр.35.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$z^2+144=0$$;
2. $$\frac{5z^2-29}{z+3\sqrt{5}}=z-\sqrt{45}$$;
3. $$z^2+441=0$$;
4. $$\frac{3z^2+2004}{z-\sqrt{44}}=z+2\sqrt{11}$$.

а) $$z^2+144=0$$

$$z^2=-144$$

$$z=\pm\sqrt{-144}=\pm 12i$$

б) $$\frac{5z^2-29}{z+3\sqrt5}=z-\sqrt{45}$$

Так как $$\sqrt{45}=3\sqrt5$$, получаем:

$$\frac{5z^2-29}{z+3\sqrt5}=z-3\sqrt5$$

Умножим обе части на $$z+3\sqrt5$$:

$$5z^2-29=(z-3\sqrt5)(z+3\sqrt5)=z^2-45$$

$$4z^2=-16$$

$$z^2=-4$$

$$z=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i$$

в) $$z^2+441=0$$

$$z^2=-441$$

$$z=\pm\sqrt{-441}=\pm 21i$$

г) $$\frac{3z^2+2004}{z-\sqrt{44}}=z+2\sqrt{11}$$

Так как $$\sqrt{44}=2\sqrt{11}$$, то

$$\frac{3z^2+2004}{z-2\sqrt{11}}=z+2\sqrt{11}$$

Умножим обе части на $$z-2\sqrt{11}$$:

$$3z^2+2004=(z+2\sqrt{11})(z-2\sqrt{11})=z^2-44$$

$$2z^2=-2048$$

$$z^2=-1024$$

$$z=\pm\sqrt{-1024}=\pm 32i$$

Ответ: а) $$z=\pm 12i$$; б) $$z=\pm 2i$$; в) $$z=\pm 21i$$; г) $$z=\pm 32i$$.