Упр.35.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все действительные значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$ax^2+8x+16=0$$: а) имеет только один корень; б) имеет действительный положительный корень; в) имеет два действительных корня разных знаков; г) имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1.

Рассмотрим уравнение $$ax^2+8x+16=0.$$

Его дискриминант:

$$D=8^2-4\cdot a\cdot 16=64-64a=64(1-a).$$

а) Уравнение имеет только один корень

Это возможно в двух случаях:

• $$D=0,$$ тогда $$64(1-a)=0,\quad a=1;$$
• уравнение становится линейным при $$a=0,$$ тогда $$8x+16=0$$ — один корень.

Ответ: $$a=0,\; a=1.$$

б) Уравнение имеет действительный положительный корень

Найдём корни при $$a\neq 0$$:

$$x=\frac{-8\pm\sqrt{64-64a}}{2a}=\frac{-4\pm4\sqrt{1-a}}{a}.$$

Чтобы был положительный корень, достаточно, чтобы больший корень был положительным:

$$\frac{-4+4\sqrt{1-a}}{a}>0.$$

Это возможно только при $$a<0,$$ так как тогда числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Следовательно, положительный корень существует при

Ответ: $$a<0.$$

в) Уравнение имеет два действительных корня разных знаков

Для квадратного уравнения с двумя действительными корнями разных знаков произведение корней должно быть отрицательным:

$$x_1x_2=\frac{16}{a}<0.$$

Отсюда

$$a<0.$$

Ответ: $$a<0.$$

г) Уравнение имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна $$1$$

По формулам Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{8}{a},\qquad x_1x_2=\frac{16}{a}.$$

Тогда

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{64}{a^2}-\frac{32}{a}.$$

По условию:

$$\frac{64}{a^2}-\frac{32}{a}=1.$$

Умножим на $$a^2$$:

$$64-32a=a^2,$$

$$a^2+32a-64=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=32^2+4\cdot64=1024+256=1280=256\cdot5,$$

$$a=\frac{-32\pm16\sqrt5}{2}=-16\pm8\sqrt5.$$

Теперь учтём, что уравнение должно иметь два действительных корня, то есть

$$D=64(1-a)>0,\quad a<1.$$

Оба найденных значения удовлетворяют этому условию, но из них подходит только

$$a=-16-8\sqrt5,$$

так как именно при этом значении выполняется условие задачи.

Ответ: $$a=-16-8\sqrt5.$$