Упр.35.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите те значения параметра $$a$$, при которых:
- а) уравнение $$z^2+az+5=0$$ имеет корень $$i$$;
б) уравнение $$z^2+az+13=0$$ имеет корень $$-2i$$;
в) уравнение $$z^2+az+24i=0$$ имеет корень $$1+i$$;
г) уравнение $$z^2+az+1+i=0$$ имеет корень $$-3+$$.
а) Подставим корень $$z=i$$ в уравнение $$z^2+az+5=0$$:
$$i^2+ai+5=0$$
$$-1+ai+5=0$$
$$ai=-4$$
$$a=\frac{-4}{i}=4i$$
б) Подставим корень $$z=-2i$$ в уравнение $$z^2+az+13=0$$:
$$(-2i)^2+a(-2i)+13=0$$
$$-4-2ai+13=0$$
$$2ai=9$$
$$a=\frac{9}{2i}=-\frac{9}{2}i$$
в) Подставим корень $$z=1+i$$ в уравнение $$z^2+az+24i=0$$:
$$(1+i)^2+a(1+i)+24i=0$$
$$1+2i+i^2+a(1+i)+24i=0$$
$$2i+a(1+i)+24i=0$$
$$a(1+i)=-26i$$
$$a=\frac{-26i}{1+i}=\frac{-26i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{-26i+26i^2}{2}=-13-13i$$
г) Подставим корень $$z=-3+2i$$ в уравнение $$z^2+az+1+i=0$$:
$$(-3+2i)^2+a(-3+2i)+1+i=0$$
$$9-12i+4i^2-3a+2ai+1+i=0$$
$$6-11i-3a+2ai=0$$
$$a(2i-3)=-6+11i$$
$$a=\frac{-6+11i}{2i-3}=\frac{(-6+11i)(-3-2i)}{(2i-3)(-3-2i)}=\frac{40-21i}{13}$$
Ответ: а) $$4i$$; б) $$-\frac{9}{2}i$$; в) $$-13-13i$$; г) $$\frac{40-21i}{13}$$.
