Упр.35 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим неравенство

$$a(x-3)\left(x-\frac{1}{a}\right)<0.$$

При $$a=0$$ неравенство не имеет смысла, поэтому далее считаем $$a\neq 0$$.

Нули левой части: $$x=3$$ и $$x=\frac{1}{a}.$$

Чтобы определить знак произведения, сравним эти точки:

$$3-\frac{1}{a}=\frac{3a-1}{a}.$$

Если $$a>0$$, то знак выражения $$3-\frac{1}{a}$$ совпадает со знаком $$3a-1$$. Тогда:

• при $$a>\frac{1}{3}$$ имеем $$\frac{1}{a}<3$$, и решение неравенства: $$\frac{1}{a}<x<3$$;
• при $$0<a<\frac{1}{3}$$ имеем $$3<\frac{1}{a}$$, и решение неравенства: $$3<x<\frac{1}{a}$$;
• при $$a=\frac{1}{3}$$ корни совпадают, и неравенство решений не имеет.

Если $$a<0$$, то $$\frac{1}{a}<0<3$$, значит $$\frac{1}{a}<3$$, и решение:

$$\frac{1}{a}<x<3.$$

Итак, ответ можно записать так:

$$x\in \begin{cases} \left(\frac{1}{a},\,3\right), & a<0 \text{ или } a>\frac{1}{3},\\[4pt] \left(3,\,\frac{1}{a}\right), & 0<a<\frac{1}{3}. \end{cases}$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{1}{a},3\right)$$ при $$a<0$$ или $$a>\frac13$$; $$x\in\left(3,\frac{1}{a}\right)$$ при $$0<a<\frac13$$; при $$a=\frac13$$ решений нет.