Упр.35.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите все действительные значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$x^2+ax+9=0$$:
а) имеет хотя бы один действительный корень;
б) не имеет действительных корней;
в) имеет хотя бы один отрицательный корень;
г) имеет два действительных корня, больших, чем $$1$$.
Рассмотрим уравнение $$x^2+ax+9=0.$$ Его дискриминант равен
$$D=a^2-36.$$
а) Уравнение имеет хотя бы один действительный корень
Для этого нужно, чтобы $$D\ge 0.$$ Тогда
$$a^2-36\ge 0,$$
$$a^2\ge 36,$$
$$|a|\ge 6.$$
Ответ: $$a\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty).$$
б) Уравнение не имеет действительных корней
Здесь требуется $$D<0.$$ Получаем
$$a^2-36<0,$$
$$a^2<36,$$
$$|a|<6.$$
Ответ: $$a\in(-6,6).$$
в) Уравнение имеет хотя бы один отрицательный корень
Пусть корни уравнения равны $$x_1$$ и $$x_2.$$ Тогда
$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=9.$$
Так как произведение корней положительно, то оба корня одного знака. Чтобы был хотя бы один отрицательный корень, оба корня должны быть отрицательными. Для этого нужно:
- $$D\ge 0,$$ то есть $$a^2-36\ge 0;$$
- $$x_1+x_2<0,$$ то есть $$-a<0,$$ откуда $$a>0.$$
Совмещаем условия:
$$a\ge 6.$$
Ответ: $$a\in[6,+\infty).$$
г) Уравнение имеет два действительных корня, больших, чем 1
Сделаем замену $$x=y+1.$$ Тогда корни уравнения по $$x$$ больше 1 тогда и только тогда, когда корни по $$y$$ положительны.
Подставим:
$$(y+1)^2+a(y+1)+9=0,$$
$$y^2+(a+2)y+(a+10)=0.$$
Чтобы оба корня этого уравнения были положительными, нужно:
- $$D>0,$$ то есть $$(a+2)^2-4(a+10)>0;$$
- сумма корней положительна: $$-(a+2)>0,$$ значит $$a<-2;$$
- произведение корней положительно: $$a+10>0,$$ значит $$a>-10.$$
Из первого условия:
$$(a+2)^2-4(a+10)=a^2-36>0,$$
$$|a|>6.$$
Совмещая все условия, получаем
$$-10<a<-6.$$
Ответ: $$a\in(-10,-6).$$
