Упр.35.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите те значения параметра $$a$$, при которых:

а) уравнение $$z^2-2z+a=0$$ имеет корень $$z=i$$;

б) уравнение $$z^2-8iz+a=0$$ имеет корень $$3-i$$;

в) уравнение $$z^2+6z+a=0$$ имеет корень $$-i$$;

г) уравнение $$z^2+10iz+a=0$$ имеет корень $$-10+i$$.

Используем теорему Виета: для уравнения $$z^2+pz+q=0$$ сумма корней равна $$-p$$, а произведение — $$q$$.

1. $$z^2-2z+a=0,\quad z=i.$$

   Подставим корень в уравнение:

   $$i^2-2i+a=0,$$

   $$-1-2i+a=0,$$

   $$a=1+2i.$$

2. $$z^2-8iz+a=0,\quad z=3-i.$$

   Так как сумма корней равна $$8i,$$ второй корень:

   $$z_2=8i-(3-i)=9i-3.$$

   Тогда

   $$a=(3-i)(9i-3).$$

   Вычислим:

   $$a=27i-9-9i^2+3i=30i.$$

3. $$z^2+6z+a=0,\quad z=-i.$$

   Сумма корней равна $$-6,$$ значит второй корень:

   $$z_2=-6-(-i)=i-6.$$

   Тогда

   $$a=(-i)(i-6).$$

   $$a=-i^2+6i=1+6i.$$

4. $$z^2+10iz+a=0,\quad z=-10+i.$$

   Сумма корней равна $$-10i,$$ значит второй корень:

   $$z_2=-10i-(-10+i)=10-11i.$$

   Тогда

   $$a=(-10+i)(10-11i).$$

   Вычислим:

   $$a=-100+110i+10i-11i^2=-89+120i.$$

Ответ: а) $$1+2i$$; б) $$30i$$; в) $$1+6i$$; г) $$-89+120i$$.