Упр.35.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$z^2 — 2iz = 0$$; б) $$z^2 + 4iz = 0$$; в) $$z^2 — 3z + 3 + i = 0$$; г) $$z^2 — 8z + 11 + 12i = 0$$.

Решим уравнения по очереди.

1. $$z^2-2iz=0$$
   $$z(z-2i)=0$$
   Отсюда
   $$z_1=0,\quad z_2=2i.$$
2. $$z^2+4iz=0$$
   $$z(z+4i)=0$$
   Отсюда
   $$z_1=0,\quad z_2=-4i.$$
3. $$z^2-3z+3+i=0$$
   Найдём дискриминант:
   $$D=3^2-4(3+i)=9-12-4i=-3-4i.$$
   Представим его в виде квадрата:
   $$-3-4i=(2i-1)^2.$$
   Тогда
   $$z_{1,2}=\frac{3\pm(2i-1)}{2}.$$
   Получаем:
   $$z_1=\frac{3-(2i-1)}{2}=\frac{4-2i}{2}=2-i,$$
   $$z_2=\frac{3+(2i-1)}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i.$$
4. $$z^2-8z+11+12i=0$$
   Найдём дискриминант:
   $$D=8^2-4(11+12i)=64-44-48i=20-48i.$$
   Представим его в виде квадрата:
   $$20-48i=(6-4i)^2.$$
   Тогда
   $$z_{1,2}=\frac{8\pm(6-4i)}{2}.$$
   Получаем:
   $$z_1=\frac{8-(6-4i)}{2}=\frac{2+4i}{2}=1+2i,$$
   $$z_2=\frac{8+(6-4i)}{2}=\frac{14-4i}{2}=7-2i.$$

Ответ: а) $$0,\ 2i$$; б) $$0,\ -4i$$; в) $$2-i,\ 1+i$$; г) $$1+2i,\ 7-2i$$.