Упр.35.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: а) $$1+i$$ и $$2-i$$; б) $$2+i$$ и $$3-2i$$; в) $$1+2i$$ и $$7-2i$$; г) $$5+4i$$ и $$4-5i$$.

Для квадратного уравнения с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$ удобно использовать формулу

$$\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0.$$

1. $$x_1=1+i,\quad x_2=2-i.$$

   $$\left(x-(1+i)\right)\left(x-(2-i)\right)=0.$$

   Тогда

   $$x^2-x(2-i)-x(1+i)+(1+i)(2-i)=0,$$

   $$x^2-3x+(3+i)=0.$$

2. $$x_1=2+i,\quad x_2=3-2i.$$

   $$\left(x-(2+i)\right)\left(x-(3-2i)\right)=0.$$

   Тогда

   $$x^2-x(3-2i)-x(2+i)+(2+i)(3-2i)=0,$$

   $$x^2+(i-5)x+(8-i)=0.$$

3. $$x_1=1+2i,\quad x_2=7-2i.$$

   $$\left(x-(1+2i)\right)\left(x-(7-2i)\right)=0.$$

   Тогда

   $$x^2-x(7-2i)-x(1+2i)+(1+2i)(7-2i)=0,$$

   $$x^2-8x+(11+12i)=0.$$

4. $$x_1=5+4i,\quad x_2=4-5i.$$

   $$\left(x-(5+4i)\right)\left(x-(4-5i)\right)=0.$$

   Тогда

   $$x^2-x(4-5i)-x(5+4i)+(5+4i)(4-5i)=0,$$

   $$x^2+(i-9)x+(40-9i)=0.$$

Ответ:

а) $$x^2-3x+(3+i)=0$$; б) $$x^2+(i-5)x+(8-i)=0$$; в) $$x^2-8x+(11+12i)=0$$; г) $$x^2+(i-9)x+(40-9i)=0$$.