Упр.35.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Изобразите на комплексной плоскости множество точек $$z$$, если:

1. $$|z|=1,\quad 0\leq\arg(z)\leq\frac{\pi}{2}$$;
2. $$|z|=1,\quad 0<\arg(z)<\pi$$;
3. $$|z|=1,\quad -\frac{2\pi}{3}\leq\arg(z)\leq 0$$;
4. $$|z|=1,\quad -\frac{\pi}{4}\leq\arg(z)\leq\pi$$.

Так как $$|z|=1$$, то множество точек лежит на единичной окружности. При извлечении квадратного корня аргумент делится пополам, поэтому для $$\sqrt z$$ получаем дуги единичной окружности с соответствующими угловыми промежутками.

1. Если $$0 \le \arg z \le \frac{\pi}{2},$$ то

   $$0 \le \arg(\sqrt z) \le \frac{\pi}{4}.$$

   Это дуга единичной окружности в первой четверти от точки $$1$$ до точки с аргументом $$\frac{\pi}{4}$$, включая концы.

2. Если $$0 < \arg z < \pi,$$ то

   $$0 < \arg(\sqrt z) < \frac{\pi}{2}.$$

   Это дуга единичной окружности в верхней полуплоскости без концов.

3. Если $$-\frac{2\pi}{3} \le \arg z \le 0,$$ то

   $$-\frac{\pi}{3} \le \arg(\sqrt z) \le 0.$$

   Это дуга единичной окружности от угла $$-\frac{\pi}{3}$$ до угла $$0$$, включая концы.

4. Если $$-\frac{\pi}{4} \le \arg z \le \pi,$$ то

   $$-\frac{\pi}{8} \le \arg(\sqrt z) \le \frac{\pi}{2}.$$

   Следовательно, искомое множество — дуга единичной окружности от угла $$-\frac{\pi}{8}$$ до угла $$\frac{\pi}{2}$$, включая концы.

Ответ: во всех пунктах искомое множество — соответствующие дуги единичной окружности с указанными промежутками аргумента для $$\sqrt z$$.