Упр.35.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Изобразите на комплексной плоскости число $$z$$ и множество корней из $$z$$, если: а) $$|z|=1$$, $$\arg(z)=\frac{\pi}{4}$$; б) $$|z|=4$$, $$\arg(z)=-\frac{\pi}{4}$$; в) $$|z|=9$$, $$\arg(z)=-\frac{3\pi}{4}$$; г) $$|z|=0{,}25$$, $$\arg(z)=-\frac{9\pi}{10}$$.

Пусть $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi).$$ Тогда число $$\sqrt z$$ имеет модуль $$\sqrt r$$ и аргументы $$\dfrac{\varphi}{2}$$ и $$\dfrac{\varphi}{2}+\pi$$.

1. $$|z|=1,\quad \arg z=\dfrac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$z=\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4},$$

   $$\sqrt z=\pm\left(\cos \dfrac{\pi}{8}+i\sin \dfrac{\pi}{8}\right).$$

2. $$|z|=4,\quad \arg z=-\dfrac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$z=4\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right),$$

   $$\sqrt z=\pm 2\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{8}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{8}\right)\right).$$

3. $$|z|=9,\quad \arg z=-\dfrac{3\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$z=9\left(\cos \left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right),$$

   $$\sqrt z=\pm 3\left(\cos \left(-\dfrac{3\pi}{8}\right)+i\sin \left(-\dfrac{3\pi}{8}\right)\right).$$

4. $$|z|=0{,}25,\quad \arg z=-\dfrac{9\pi}{10}.$$

   Тогда

   $$z=\dfrac14\left(\cos \left(-\dfrac{9\pi}{10}\right)+i\sin \left(-\dfrac{9\pi}{10}\right)\right),$$

   $$\sqrt z=\pm \dfrac12\left(\cos \left(-\dfrac{9\pi}{20}\right)+i\sin \left(-\dfrac{9\pi}{20}\right)\right).$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } z=\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4},\quad \sqrt z=\pm\left(\cos \dfrac{\pi}{8}+i\sin \dfrac{\pi}{8}\right);\\ &\text{б) } z=4\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right),\quad \sqrt z=\pm 2\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{8}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{8}\right)\right);\\ &\text{в) } z=9\left(\cos \left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right),\quad \sqrt z=\pm 3\left(\cos \left(-\dfrac{3\pi}{8}\right)+i\sin \left(-\dfrac{3\pi}{8}\right)\right);\\ &\text{г) } z=\dfrac14\left(\cos \left(-\dfrac{9\pi}{10}\right)+i\sin \left(-\dfrac{9\pi}{10}\right)\right),\quad \sqrt z=\pm \dfrac12\left(\cos \left(-\dfrac{9\pi}{20}\right)+i\sin \left(-\dfrac{9\pi}{20}\right)\right). \end{aligned}$$