Упр.35.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Изобразите на комплексной плоскости число $$z$$ и множество $$\sqrt{z}$$, если:
   а) $$|z|=1$$, $$\arg(z)=\frac{\pi}{2}$$;
   б) $$|z|=4$$, $$\arg(z)=-\frac{\pi}{2}$$;
   в) $$|z|=9$$, $$\arg(z)=\frac{\pi}{3}$$;
   г) $$|z|=0{,}25$$, $$\arg(z)=-\frac{2\pi}{3}$$.

Запишем число в тригонометрической форме: $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi),$$ где $$r=|z|.$$

1. $$|z|=1,\quad \arg(z)=\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$z=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i,$$

   а множество корней:

   $$\sqrt z=\pm \sqrt{1}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)=\pm\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right).$$

2. $$|z|=4,\quad \arg(z)=-\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$z=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=-4i,$$

   а множество корней:

   $$\sqrt z=\pm \sqrt{4}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\pm 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

3. $$|z|=9,\quad \arg(z)=\frac{\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$z=9\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=\frac{9}{2}+i\frac{9\sqrt3}{2},$$

   а множество корней:

   $$\sqrt z=\pm \sqrt{9}\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)=\pm 3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$

4. $$|z|=0{,}25,\quad \arg(z)=-\frac{2\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right),$$

   а множество корней:

   $$\sqrt z=\pm \sqrt{\frac14}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\pm \frac12\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } z=i,\quad \sqrt z=\pm\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right);\\ &\text{б) } z=-4i,\quad \sqrt z=\pm 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right);\\ &\text{в) } z=\frac{9}{2}+i\frac{9\sqrt3}{2},\quad \sqrt z=\pm 3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right);\\ &\text{г) } z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right),\quad \sqrt z=\pm \frac12\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). \end{aligned}$$