Упр.35.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите: а) $$\sqrt{5+8i}$$; б) $$\sqrt{5-8i}$$; в) $$\sqrt{24-7i}$$; г) $$\sqrt{40+9i}$$.

Используем формулу для квадратного корня из комплексного числа $$a+bi$$:

$$\sqrt{a+bi}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\operatorname{sgn}(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right).$$

1. $$\sqrt{15+8i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}+15}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}-15}{2}}\right).$$

   $$\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=17,$$

   $$\sqrt{15+8i}=\pm\left(\sqrt{\frac{17+15}{2}}+i\sqrt{\frac{17-15}{2}}\right)=\pm(4+i).$$

2. $$\sqrt{15-8i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}+15}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}-15}{2}}\right).$$

   $$\sqrt{15-8i}=\pm\left(\sqrt{\frac{17+15}{2}}-i\sqrt{\frac{17-15}{2}}\right)=\pm(4-i).$$

3. $$\sqrt{24-7i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{24^2+7^2}+24}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{24^2+7^2}-24}{2}}\right).$$

   $$\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=25,$$

   $$\sqrt{24-7i}=\pm\left(\sqrt{\frac{25+24}{2}}-i\sqrt{\frac{25-24}{2}}\right)=\pm\left(\frac{7}{\sqrt2}-\frac{i}{\sqrt2}\right)=\pm\frac{7-i}{\sqrt2}.$$

4. $$\sqrt{40+9i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{40^2+9^2}+40}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{40^2+9^2}-40}{2}}\right).$$

   $$\sqrt{40^2+9^2}=\sqrt{1600+81}=41,$$

   $$\sqrt{40+9i}=\pm\left(\sqrt{\frac{41+40}{2}}+i\sqrt{\frac{41-40}{2}}\right)=\pm\left(\frac{9}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}\right)=\pm\frac{9+i}{\sqrt2}.$$

Ответ: $$\pm(4+i),\ \pm(4-i),\ \pm\frac{7-i}{\sqrt2},\ \pm\frac{9+i}{\sqrt2}.$$