Упр.35.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите $$\sqrt{a+bi}$$, решив уравнение $$(x+yi)^2=a+bi$$ или использовав формулу $$\sqrt{a+bi}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\frac{b}{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$$:
   а) $$\sqrt{3-4i}$$;
   б) $$\sqrt{3+4i}$$;
   в) $$\sqrt{4-3i}$$;
   г) $$\sqrt{12+5i}$$.

Используем формулу для квадратного корня из комплексного числа $$a+bi$$:

$$\sqrt{a+bi}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\frac{b}{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right).$$

1. $$\sqrt{3-4i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{3^2+(-4)^2}+3}{2}}+i\cdot\frac{-4}{|-4|}\sqrt{\frac{\sqrt{3^2+(-4)^2}-3}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{5+3}{2}}-i\sqrt{\frac{5-3}{2}}\right)=\pm(2-i).$$

2. $$\sqrt{3+4i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{3^2+4^2}+3}{2}}+i\cdot\frac{4}{|4|}\sqrt{\frac{\sqrt{3^2+4^2}-3}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{5+3}{2}}+i\sqrt{\frac{5-3}{2}}\right)=\pm(2+i).$$

3. $$\sqrt{4-3i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{4^2+(-3)^2}+4}{2}}+i\cdot\frac{-3}{|-3|}\sqrt{\frac{\sqrt{4^2+(-3)^2}-4}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{5+4}{2}}-i\sqrt{\frac{5-4}{2}}\right)=\pm\left(\frac{3}{\sqrt2}-\frac{i}{\sqrt2}\right)=\pm\frac{3-i}{\sqrt2}.$$

4. $$\sqrt{12+5i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{12^2+5^2}+12}{2}}+i\cdot\frac{5}{|5|}\sqrt{\frac{\sqrt{12^2+5^2}-12}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{13+12}{2}}+i\sqrt{\frac{13-12}{2}}\right)=\pm\left(\frac{5}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}\right)=\pm\frac{5+i}{\sqrt2}.$$

Ответ: а) $$\pm(2-i)$$; б) $$\pm(2+i)$$; в) $$\pm\frac{3-i}{\sqrt2}$$; г) $$\pm\frac{5+i}{\sqrt2}$$.