Упр.35.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

При каких действительных значениях параметра $$a$$:
а) уравнение $$z^2+az+5=0$$ имеет корень $$2+i$$;
б) уравнение $$z^2+az+13=0$$ имеет корень $$-2-3i$$;
в) уравнение $$z^2+(1-a^2)z+25=0$$ имеет корень $$4+3i$$;
г) уравнение $$z^2+(a^2+2a+2)z+41=0$$ имеет корень $$-5+4i$$?

Подробный ответ

Пусть данное комплексное число $$z_0=x+yi$$ является корнем уравнения. Тогда после подстановки нужно приравнять к нулю отдельно действительную и мнимую части.

$$z^2+az+5=0,\quad z_0=2+i$$
Подставим $$z_0$$:
$$(2+i)^2+a(2+i)+5=0$$
$$4+4i+i^2+2a+ai+5=0$$
$$8+4i+2a+ai=0$$
$$(2a+8)+(a+4)i=0$$
Отсюда:
$$\begin{cases} 2a+8=0,\\ a+4=0 \end{cases} \Rightarrow a=-4.$$
$$z^2+az+13=0,\quad z_0=-2-3i$$
Подставим $$z_0$$:
$$(-2-3i)^2+a(-2-3i)+13=0$$
$$4+12i+9i^2-2a-3ai+13=0$$
$$8+12i-2a-3ai=0$$
$$(8-2a)+(12-3a)i=0$$
Следовательно,
$$\begin{cases} 8-2a=0,\\ 12-3a=0 \end{cases} \Rightarrow a=4.$$
$$z^2+(1-a^2)z+25=0,\quad z_0=4+3i$$
Подставим $$z_0$$:
$$(4+3i)^2+(1-a^2)(4+3i)+25=0$$
$$16+24i+9i^2+4+3i-4a^2-3a^2i+25=0$$
$$(36-4a^2)+(27-3a^2)i=0$$
Тогда
$$\begin{cases} 36-4a^2=0,\\ 27-3a^2=0 \end{cases} \Rightarrow a^2=9.$$
Значит,
$$a=\pm 3.$$
$$z^2+(a^2+2a+2)z+41=0,\quad z_0=-5+4i$$
Подставим $$z_0$$:
$$(-5+4i)^2+(a^2+2a+2)(-5+4i)+41=0$$
$$25-40i+16i^2-5a^2-10a-10+4a^2i+8ai-10+8i+41=0$$
$$(-5a^2-10a+40)+(4a^2+8a-32)i=0$$
Следовательно,
$$\begin{cases} -5a^2-10a+40=0,\\ 4a^2+8a-32=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$a^2+2a-8=0$$
$$D=2^2+32=36,\quad a_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$
$$a_1=-4,\quad a_2=2.$$