Упр.35.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все действительные значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$x^2-4x+a=0$$:
   
   а) имеет только один корень;
   
   б) имеет два действительных корня;
   
   в) не имеет действительных корней;
   
   г) имеет два действительных корня разных знаков.

Рассмотрим квадратное уравнение $$x^2-4x+a=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot a=16-4a.$$

а) Уравнение имеет только один корень

Это возможно, когда $$D=0.$$ Тогда

$$16-4a=0,$$

$$4a=16,$$

$$a=4.$$

Ответ: $$a=4.$$

б) Уравнение имеет два действительных корня

Для этого нужно $$D>0.$$ Получаем

$$16-4a>0,$$

$$4a<16,$$

$$a<4.$$

Ответ: $$a<4.$$

в) Уравнение не имеет действительных корней

Это происходит при $$D<0.$$ Тогда

$$16-4a<0,$$

$$4a>16,$$

$$a>4.$$

Ответ: $$a>4.$$

г) Уравнение имеет два действительных корня разных знаков

Для квадратного уравнения $$x^2-4x+a=0$$ произведение корней равно $$a.$$

Чтобы корни были разных знаков, нужно:

• $$D>0,$$
• $$a<0.$$

Так как при $$a<0$$ автоматически $$D=16-4a>0,$$ остаётся условие

$$a<0.$$

Ответ: $$a<0.$$