Упр.34.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|z-i|=1$$; б) $$|z+2i|=2$$; в) $$|z-1-i|=\sqrt{2}$$; г) $$|z+4+3i|=5$$.

Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда модуль комплексного числа задаёт расстояние от точки $$M(x,y)$$ до соответствующей точки на комплексной плоскости.

1. $$|z-i|=1$$

   $$|x+yi-i|=1$$

   $$\sqrt{x^2+(y-1)^2}=1$$

   $$x^2+(y-1)^2=1.$$

   Это окружность с центром $$O(0;1)$$ и радиусом $$1$$.

2. $$|z+2i|=2$$

   $$|x+yi+2i|=2$$

   $$\sqrt{x^2+(y+2)^2}=2$$

   $$x^2+(y+2)^2=4.$$

   Это окружность с центром $$O(0;-2)$$ и радиусом $$2$$.

3. $$|z-1-i|=\sqrt{2}$$

   $$|x+yi-1-i|=\sqrt{2}$$

   $$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{2}$$

   $$(x-1)^2+(y-1)^2=2.$$

   Это окружность с центром $$O(1;1)$$ и радиусом $$\sqrt{2}$$.

4. $$|z+4+3i|=5$$

   $$|x+yi+4+3i|=5$$

   $$\sqrt{(x+4)^2+(y+3)^2}=5$$

   $$(x+4)^2+(y+3)^2=25.$$

   Это окружность с центром $$O(-4;-3)$$ и радиусом $$5$$.

Ответ: во всех пунктах получаются окружности:
$$x^2+(y-1)^2=1,$$ $$x^2+(y+2)^2=4,$$ $$(x-1)^2+(y-1)^2=2,$$ $$(x+4)^2+(y+3)^2=25.$$