Упр.34.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел $$z$$, удовлетворяющих заданному условию: а) $$|z|=3$$; б) $$|z-1|=3$$; в) $$|z+2|=3$$; г) $$|z+3i|=3$$.

Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда модуль комплексного числа равен расстоянию от точки $$M(x,y)$$ до соответствующей точки на комплексной плоскости.

1. $$|z|=3$$
   
   Тогда
   $$\sqrt{x^2+y^2}=3,$$
   откуда
   $$x^2+y^2=9.$$
   Это окружность с центром в точке $$O(0,0)$$ и радиусом $$3$$.
2. $$|z-1|=3$$
   
   Имеем
   $$|x-1+yi|=3,$$
   значит
   $$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=3,$$
   поэтому
   $$(x-1)^2+y^2=9.$$
   Это окружность с центром в точке $$A(1,0)$$ и радиусом $$3$$.
3. $$|z+2|=3$$
   
   Тогда
   $$|x+2+yi|=3,$$
   следовательно,
   $$\sqrt{(x+2)^2+y^2}=3,$$
   откуда
   $$(x+2)^2+y^2=9.$$
   Это окружность с центром в точке $$B(-2,0)$$ и радиусом $$3$$.
4. $$|z+3i|=3$$
   
   Получаем
   $$|x+i(y+3)|=3,$$
   значит
   $$\sqrt{x^2+(y+3)^2}=3,$$
   поэтому
   $$x^2+(y+3)^2=9.$$
   Это окружность с центром в точке $$C(0,-3)$$ и радиусом $$3$$.

Ответ: во всех пунктах получаются окружности радиуса $$3$$ с центрами соответственно $$O(0,0)$$, $$A(1,0)$$, $$B(-2,0)$$, $$C(0,-3)$$.