Упр.34.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каком положительном значении параметра $$a$$ модуль данного числа равен $$10$$: а) $$a+8i$$; б) $$2a+ai$$; в) $$(a+1)+(a-1)i$$; г) $$a+\frac{50i}{a}$$.

Пусть $$z=x+yi$$. Тогда $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

1. $$z=a+8i$$

   $$|z|=\sqrt{a^2+8^2}=10$$

   $$a^2+64=100$$

   $$a^2=36,\quad a=6$$

2. $$z=2a+ai$$

   $$|z|=\sqrt{(2a)^2+a^2}=10$$

   $$4a^2+a^2=100$$

   $$5a^2=100,\quad a^2=20,\quad a=2\sqrt{5}$$

3. $$z=(a+1)+(a-1)i$$

   $$|z|=\sqrt{(a+1)^2+(a-1)^2}=10$$

   $$a^2+2a+1+a^2-2a+1=100$$

   $$2a^2+2=100$$

   $$2a^2=98,\quad a^2=49,\quad a=7$$

4. $$z=a+\frac{50i}{a}$$, где $$a>0$$

   $$|z|=\sqrt{a^2+\left(\frac{50}{a}\right)^2}=10$$

   $$a^2+\frac{2500}{a^2}=100$$

   $$a^4-100a^2+2500=0$$

   $$\left(a^2-50\right)^2=0$$

   $$a^2=50,\quad a=5\sqrt{2}$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$2\sqrt{5}$$; в) $$7$$; г) $$5\sqrt{2}$$.