Упр.34.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел $$z$$, удовлетворяющих условию $$|zi-3+4i|\leq\left|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right|$$. Чему равно наименьшее значение $$|z|$$?
б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел $$z$$, удовлетворяющих условию $$|zi-3-4i|\leq\left|\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right|$$. Чему равно наименьшее значение $$|z|$$?
Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда $$zi=(x+yi)i=xi-y.$$
а)
Имеем
$$|zi-3+4i|=\left|\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right|=1.$$
Следовательно,
$$|zi-3+4i|=|xi-y-3+4i|=|(x-3)+(4-y)i|=1,$$
то есть
$$\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}=1.$$
Это окружность с центром $$C(3;4)$$ и радиусом $$1$$.
Наименьшее значение $$|z|$$ равно расстоянию от начала координат до ближайшей точки этой окружности:
$$|z|_{\min}=\sqrt{3^2+4^2}-1=5-1=4.$$
б)
Имеем
$$|zi-3-4i|=\left|\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right|=1.$$
Тогда
$$|zi-3-4i|=|xi-y-3-4i|=|(x-4)+(-y-3)i|=1,$$
то есть
$$\sqrt{(x-4)^2+(y+3)^2}=1.$$
Это окружность с центром $$C(4;-3)$$ и радиусом $$1$$.
Наименьшее значение $$|z|$$ равно расстоянию от начала координат до ближайшей точки этой окружности:
$$|z|_{\min}=\sqrt{4^2+3^2}-1=5-1=4.$$
Ответ: а) $$4$$; б) $$4$$.
