Упр.34.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Среди корней $$z$$ уравнения $$\sqrt[3]{(z+\overline{z})(z-\overline{z})}=4i^9$$ найдите число, аргумент которого равен $$\frac{\pi}{6}$$.
   б) Среди корней $$z$$ уравнения $$\operatorname{Re}z\cdot\operatorname{Im}z=\frac{\sqrt{3}}{16}$$ найдите число, аргумент которого равен $$\frac{\pi}{3}$$.

Пусть $$z=x+yi$$, где $$x=\operatorname{Re} z$$, $$y=\operatorname{Im} z$$.

а)

Имеем:

$$\sqrt{3}(z+\overline z)(z-\overline z)=4i^9.$$

Подставим $$z=x+yi$$, $$\overline z=x-yi$$:

$$\sqrt{3}\bigl((x+yi)+(x-yi)\bigr)\bigl((x+yi)-(x-yi)\bigr)=4i^9,$$

$$\sqrt{3}\cdot 2x \cdot 2yi=4i^9.$$

Так как $$i^9=i$$, получаем

$$4\sqrt{3}xy\,i=4i,$$

откуда

$$\sqrt{3}xy=1,$$

$$y=\frac{1}{x\sqrt{3}}.$$

Если аргумент числа равен $$\frac{\pi}{6}$$, то

$$y=x\tan\frac{\pi}{6}=\frac{x}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{1}{x\sqrt{3}},$$

$$x^2=1.$$

Так как $$\arg z=\frac{\pi}{6}$$, то $$x>0$$, значит $$x=1$$, а

$$y=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно,

$$z=1+\frac{1}{\sqrt{3}}i.$$

б)

Имеем:

$$\operatorname{Re} z\cdot \operatorname{Im}\overline z=\frac{\sqrt{3}}{i^6}.$$

Так как $$i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1$$, то

$$\frac{\sqrt{3}}{i^6}=-\sqrt{3}.$$

С другой стороны,

$$\operatorname{Re} z\cdot \operatorname{Im}\overline z=x\cdot(-y)=-xy.$$

Значит,

$$-xy=-\sqrt{3},$$

$$xy=\sqrt{3},$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{x}.$$

Если аргумент числа равен $$\frac{\pi}{3}$$, то

$$y=x\tan\frac{\pi}{3}=x\sqrt{3}.$$

Тогда

$$x\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{x},$$

$$x^2=1.$$

Так как $$\arg z=\frac{\pi}{3}$$, то $$x>0$$, значит $$x=1$$, а

$$y=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$z=1+i\sqrt{3}.$$

Ответ

а) $$z=1+\frac{1}{\sqrt{3}}i$$; б) $$z=1+i\sqrt{3}$$.