Упр.34.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для числа $$z=\cos(0{,}11\pi)+i\sin(0{,}11\pi)$$ укажите наименьшее натуральное число $$n$$, при котором:
   а) $$\arg(z^n)>\frac{\pi}{4}$$;
   б) $$\arg(z^n)>\frac{\pi}{2}$$;
   в) $$\arg(z^n)>\frac{5\pi}{6}$$;
   г) $$\arg(z^n)<0$$.

$$z=\cos(0{,}11\pi)+i\sin(0{,}11\pi),$$

тогда

$$z^n=\cos(0{,}11\pi n)+i\sin(0{,}11\pi n),$$

и потому

$$\arg(z^n)=0{,}11\pi n.$$

Найдём наименьшее натуральное $$n$$ для каждого случая.

1. $$0{,}11\pi n>\frac{\pi}{4}$$

   $$0{,}11n>0{,}25$$

   $$n>\frac{0{,}25}{0{,}11}=\frac{25}{11}$$

   Значит, наименьшее натуральное число: $$n=3.$$

2. $$0{,}11\pi n>\frac{\pi}{2}$$

   $$0{,}11n>0{,}5$$

   $$n>\frac{0{,}5}{0{,}11}=\frac{50}{11}$$

   Значит, наименьшее натуральное число: $$n=5.$$

3. $$0{,}11\pi n>\frac{5\pi}{6}$$

   $$0{,}11n>\frac{5}{6}$$

   $$n>\frac{5/6}{0{,}11}=\frac{500}{66}$$

   Значит, наименьшее натуральное число: $$n=8.$$

4. Чтобы аргумент стал отрицательным, нужно, чтобы

   $$0{,}11\pi n>\pi.$$

   Тогда

   $$0{,}11n>1,$$

   $$n>\frac{1}{0{,}11}=\frac{100}{11}.$$

   Значит, наименьшее натуральное число: $$n=10.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$5$$; в) $$8$$; г) $$10$$.