Упр.34.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Зная, что $$z_1=2-i$$, $$z_2=4+3i$$, $$z_3=-2+5i$$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $$\frac{z_1}{z}$$, $$\frac{z_2}{z}$$, $$\frac{z_3}{z}$$, если: а) $$z=i$$; б) $$z=2i$$; в) $$z=-i$$; г) $$z=1-i$$.

Даны комплексные числа $$z_1=2-i,\quad z_2=4+3i,\quad z_3=-2+5i.$$

Найдём координаты точек, соответствующих числам $$\dfrac{z_1}{z},\ \dfrac{z_2}{z},\ \dfrac{z_3}{z}$$ для каждого значения $$z$$.

а) Если $$z=i$$

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{i}=\frac{i(2-i)}{i^2}=-1-2i,$$
$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{i}=\frac{i(4+3i)}{i^2}=3-4i,$$
$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{i}=\frac{i(-2+5i)}{i^2}=5+2i.$$

Значит, вершины треугольника: $$(-1,-2),\ (3,-4),\ (5,2).$$

б) Если $$z=2i$$

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{2i}=\frac{i(2-i)}{2i^2}=-\frac12-i,$$
$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{2i}=\frac{i(4+3i)}{2i^2}=\frac32-2i,$$
$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{2i}=\frac{i(-2+5i)}{2i^2}=\frac52+i.$$

Вершины треугольника: $$\left(-\frac12,-1\right),\ \left(\frac32,-2\right),\ \left(\frac52,1\right).$$

в) Если $$z=-i$$

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{-i}=1+2i,$$
$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{-i}=-3+4i,$$
$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{-i}=-5-2i.$$

Вершины треугольника: $$(1,2),\ (-3,4),\ (-5,-2).$$

г) Если $$z=1-i$$

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{1-i}=\frac{(2-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+i}{2},$$
$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{1-i}=\frac{(4+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+7i}{2},$$
$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{1-i}=\frac{(-2+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-7+3i}{2}.$$

Вершины треугольника: $$\left(\frac32,\frac12\right),\ \left(\frac12,\frac72\right),\ \left(-\frac72,\frac32\right).$$

Ответ

а) $$(-1,-2),\ (3,-4),\ (5,2);$$
б) $$\left(-\frac12,-1\right),\ \left(\frac32,-2\right),\ \left(\frac52,1\right);$$
в) $$(1,2),\ (-3,4),\ (-5,-2);$$
г) $$\left(\frac32,\frac12\right),\ \left(\frac12,\frac72\right),\ \left(-\frac72,\frac32\right).$$