Упр.34.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Зная, что $$z_1=2+i$$, $$z_2=4+3i$$, $$z_3=-1+7i$$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $$zz_1$$, $$zz_2$$, $$zz_3$$, если: а) $$z=i$$; б) $$z=2i$$; в) $$z=-i$$; г) $$z=1-i$$.

При умножении комплексного числа $$z=a+bi$$ на $$w=u+vi$$ получаем

$$zw=(au-bv)+(av+bu)i.$$

Значит, координаты точки, соответствующей числу $$zw,$$ находятся по формулам:

$$x=au-bv,\qquad y=av+bu.$$

а) Если $$z=i$$

$$\begin{aligned} zz_1&=i(2+i)=2i+i^2=-1+2i,\\ zz_2&=i(4+3i)=4i+3i^2=-3+4i,\\ zz_3&=i(-1+7i)=-i+7i^2=-7-i. \end{aligned}$$

Вершины треугольника: $$(-1;2),\;(-3;4),\;(-7;-1).$$

б) Если $$z=2i$$

$$\begin{aligned} zz_1&=2i(2+i)=4i+2i^2=-2+4i,\\ zz_2&=2i(4+3i)=8i+6i^2=-6+8i,\\ zz_3&=2i(-1+7i)=-2i+14i^2=-14-2i. \end{aligned}$$

Вершины треугольника: $$(-2;4),\;(-6;8),\;(-14;-2).$$

в) Если $$z=-i$$

$$\begin{aligned} zz_1&=-i(2+i)=-2i-i^2=1-2i,\\ zz_2&=-i(4+3i)=-4i-3i^2=3-4i,\\ zz_3&=-i(-1+7i)=i-7i^2=7+i. \end{aligned}$$

Вершины треугольника: $$(1;-2),\;(3;-4),\;(7;1).$$

г) Если $$z=1-i$$

$$\begin{aligned} zz_1&=(1-i)(2+i)=2+i-2i-i^2=3-i,\\ zz_2&=(1-i)(4+3i)=4+3i-4i-3i^2=7-i,\\ zz_3&=(1-i)(-1+7i)=-1+7i+i-7i^2=6+8i. \end{aligned}$$

Вершины треугольника: $$(3;-1),\;(7;-1),\;(6;8).$$

Ответ: при каждом значении $$z$$ треугольник строится по найденным вершинам на комплексной плоскости:

• а) $$(-1;2),\;(-3;4),\;(-7;-1)$$;
• б) $$(-2;4),\;(-6;8),\;(-14;-2)$$;
• в) $$(1;-2),\;(3;-4),\;(7;1)$$;
• г) $$(3;-1),\;(7;-1),\;(6;8)$$.