Упр.34.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Каждое комплексное число, действительная часть которого равна $$-4$$, умножили на $$z$$. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если: а) $$z=i$$; б) $$z=-3i$$; в) $$z=1-\sqrt{3}i$$; г) $$z=3-i$$.

Пусть $$z_1=-4+bi,\quad b\in\mathbb R.$$ Тогда после умножения на заданное число получаем множество точек на комплексной плоскости.

1. $$z=i$$

   $$z_1z=(-4+bi)i=-4i+bi^2=-b-4i.$$
   Значит,
   $$x=-b,\quad y=-4.$$
   Это прямая $$y=-4.$$

2. $$z=-3i$$

   $$z_1z=(-4+bi)(-3i)=12i-3bi^2=3b+12i.$$
   Значит,
   $$x=3b,\quad y=12.$$
   Это прямая $$y=12.$$

3. $$z=1-\sqrt3\,i$$

   $$z_1z=(-4+bi)(1-\sqrt3\,i)=-4+4\sqrt3\,i+bi-b\sqrt3\,i^2.$$
   Тогда
   $$z_1z=(b\sqrt3-4)+(b+4\sqrt3)i.$$
   Обозначим
   $$x=b\sqrt3-4,\quad y=b+4\sqrt3.$$
   Исключим $$b$$:
   $$b=y-4\sqrt3,$$
   $$x=\sqrt3(y-4\sqrt3)-4=\sqrt3\,y-16.$$
   Следовательно,
   $$y=\frac{x+16}{\sqrt3}.$$
   Это прямая $$y=\dfrac{x+16}{\sqrt3}.$$

4. $$z=3-i$$

   $$z_1z=(-4+bi)(3-i)=-12+4i+3bi-bi^2.$$
   Тогда
   $$z_1z=(b-12)+(3b+4)i.$$
   Значит,
   $$x=b-12,\quad y=3b+4.$$
   Исключим $$b$$:
   $$b=x+12,$$
   $$y=3(x+12)+4=3x+40.$$
   Это прямая $$y=3x+40.$$

Ответ: а) $$y=-4$$; б) $$y=12$$; в) $$y=\dfrac{x+16}{\sqrt3}$$; г) $$y=3x+40$$.