Упр.34.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём аргументы данных чисел в тригонометрической форме:

$$z_1=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},$$
$$z_2=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}.$$

1. $$z=\frac{z_1}{z_2}=1\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$

   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-i,$$
   значит,
   $$\arg z=-\frac{\pi}{2}.$$

2. $$z=z_1^3=1^3\left(\cos 3\cdot\frac{\pi}{3}+i\sin 3\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\cos\pi+i\sin\pi=-1.$$

   Следовательно,
   $$\arg z=\pi.$$

3. $$z=\frac{z_1^4}{z_2^3}=1^4\cdot 1^{-3}\left(\cos\left(4\cdot\frac{\pi}{3}-3\cdot\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(4\cdot\frac{\pi}{3}-3\cdot\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$

   $$z=\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6},$$
   значит,
   $$\arg z=\frac{5\pi}{6}.$$

4. $$z=\frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}=1^{31}\cdot 1^{-33}\left(\cos\left(31\cdot\frac{\pi}{3}-33\cdot\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(31\cdot\frac{\pi}{3}-33\cdot\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$

   $$z=\cos\left(-\frac{103\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{103\pi}{6}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6},$$
   значит,
   $$\arg z=\frac{5\pi}{6}.$$

Ответ: а) $$-\frac{\pi}{2}$$; б) $$\pi$$; в) $$\frac{5\pi}{6}$$; г) $$\frac{5\pi}{6}$$.