Упр.34.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Зная, что $$z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ и $$z_2=-\frac{\text{корнеь}}{2}$$, изобразите на комплексной плоскости числа $$z_1$$, $$z_2$$, $$z$$ и найдите аргумент указанного числа $$z$$:
а) $$z=z_1z_2$$;
б) $$z=(z_1)^2z_2$$;
в) $$z=z_1(z_2)^5$$;
г) $$z=(z_1)^{11}(z_2)^{10}$$.

Подробный ответ

Даны числа

$$z_1=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},$$

$$z_2=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}.$$

Тогда на комплексной плоскости это точки единичной окружности с аргументами $$\arg z_1=\frac{\pi}{3},\qquad \arg z_2=\frac{5\pi}{6}.$$

$$z=z_1z_2.$$
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме аргументы складываются:
$$z=\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$\arg z=-\frac{5\pi}{6}.$$
$$z=(z_1)^2z_2.$$
$$z=\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\frac{9\pi}{6}+i\sin\frac{9\pi}{6}.$$
Так как $$\cos\frac{3\pi}{2}=0$$ и $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$ то
$$z=-i,\qquad \arg z=-\frac{\pi}{2}.$$
$$z=z_1(z_2)^5.$$
$$z=\cos\left(\frac{\pi}{3}+5\cdot\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+5\cdot\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\frac{27\pi}{6}+i\sin\frac{27\pi}{6}.$$
Сократим угол:
$$\frac{27\pi}{6}=\frac{9\pi}{2}\equiv \frac{\pi}{2}\pmod{2\pi}.$$
Значит,
$$z=i,\qquad \arg z=\frac{\pi}{2}.$$
$$z=(z_1)^{11}(z_2)^{10}.$$
$$z=\cos\left(11\cdot\frac{\pi}{3}+10\cdot\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(11\cdot\frac{\pi}{3}+10\cdot\frac{5\pi}{6}\right).$$
$$z=\cos\frac{72\pi}{6}+i\sin\frac{72\pi}{6}=\cos 12\pi+i\sin 12\pi=1.$$
Следовательно,
$$\arg z=0.$$