Упр.34.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Зная, что $$z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$$ и $$z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$$, изобразите на комплексной плоскости числа $$z_1$$, $$z_2$$, $$z$$ и найдите аргумент указанного числа $$z$$:

1. а) $$z=z_1z_2$$; б) $$z=(z_1)^2z_2$$; в) $$z=z_1(z_2)^3$$; г) $$z=(z_1)^5(z_2)^3$$.

Представим числа в тригонометрической форме:

$$z_1=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4},$$

$$z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}.$$

1. $$z=z_1z_2=1\cdot1\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

   $$z=\cos\pi+i\sin\pi=-1.$$

   Следовательно, $$\arg z=\pi.$$

2. $$z=(z_1)^2z_2=1^2\cdot1\left(\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

   $$z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right).$$

   Следовательно, $$\arg z=-\frac{3\pi}{4}.$$

3. $$z=z_1(z_2)^3=1\cdot1^3\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

   $$z=\cos\frac{10\pi}{4}+i\sin\frac{10\pi}{4}=\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}=i.$$

   Следовательно, $$\arg z=\frac{\pi}{2}.$$

4. $$z=(z_1)^5(z_2)^3=1^5\cdot1^3\left(\cos\left(5\cdot\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(5\cdot\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

   $$z=\cos\frac{14\pi}{4}+i\sin\frac{14\pi}{4}=\cos\frac{7\pi}{2}+i\sin\frac{7\pi}{2}=-i.$$

   Следовательно, $$\arg z=-\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: а) $$\pi$$; б) $$-\frac{3\pi}{4}$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$-\frac{\pi}{2}$$.