Упр.34.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$z=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$$, найдите $$z^2$$, запишите числа $$z$$ и $$z^2$$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

   б) Зная, что $$z=2-2\sqrt{3}i$$, найдите $$z^2$$, запишите числа $$z$$ и $$z^2$$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

а) Пусть $$z=\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i.$$ Тогда

$$z^2=(\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i)^2=2+4i+2i^2=4i.$$

Запишем числа в тригонометрической форме:

$$z=\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right),$$

$$|z|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2,\qquad \არგ(z)=\frac{\pi}{4}.$$

Для второго числа:

$$z^2=4i=4\left(0+i\cdot 1\right)=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right),$$

$$|z^2|=4,\qquad \arg(z^2)=\frac{\pi}{2}.$$

Сравним:

$$\frac{|z^2|}{|z|}=\frac{4}{2}=2,\qquad \frac{\arg(z^2)}{\arg(z)}=\frac{\pi/2}{\pi/4}=2.$$

На комплексной плоскости число $$z$$ соответствует точке $$\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right),$$ а число $$z^2$$ — точке $$\left(0,4\right).$$

б) Пусть $$z=2-2\sqrt{3}\,i.$$ Тогда

$$z^2=(2-2\sqrt{3}\,i)^2=4-8\sqrt{3}\,i+12i^2=-8-8\sqrt{3}\,i.$$

Запишем число $$z$$ в тригонометрической форме:

$$z=2-2\sqrt{3}\,i=4\left(\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right),$$

$$|z|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4,\qquad \arg(z)=-\frac{\pi}{3}.$$

Для второго числа:

$$z^2=-8-8\sqrt{3}\,i=16\left(-\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=16\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right),$$

$$|z^2|=\sqrt{(-8)^2+(-8\sqrt{3})^2}=16,\qquad \arg(z^2)=-\frac{2\pi}{3}.$$

Сравним:

$$\frac{|z^2|}{|z|}=\frac{16}{4}=4,\qquad \frac{\arg(z^2)}{\arg(z)}=\frac{-2\pi/3}{-\pi/3}=2.$$

На комплексной плоскости число $$z$$ соответствует точке $$\left(2,-2\sqrt{3}\right),$$ а число $$z^2$$ — точке $$\left(-8,-8\sqrt{3}\right).$$

Ответ

а) $$z^2=4i,$$ $$z=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right),$$ $$z^2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).$$

б) $$z^2=-8-8\sqrt{3}\,i,$$ $$z=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right),$$ $$z^2=16\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right).$$