Упр.34.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$z=i$$, изобразите на комплексной плоскости числа $$z$$, $$z^2$$, $$z^3$$, $$z^9$$, $$z^{99}$$ и найдите их аргументы; б) зная, что $$z=-i$$, изобразите на комплексной плоскости числа $$z$$, $$z^5$$, $$z^{15}$$, $$z^{-25}$$, $$z^{-1001}$$ и найдите их аргументы.

а) Если $$z=i,$$ то

$$z^2=i^2=-1,\qquad z^3=i^3=-i,\qquad z^9=i^9=i,\qquad z^{99}=i^{99}=-i.$$

На комплексной плоскости это точки:

• $$z$$ и $$z^9$$ — в точке $$\left(0,1\right),$$
• $$z^2$$ — в точке $$\left(-1,0\right),$$
• $$z^3$$ и $$z^{99}$$ — в точке $$\left(0,-1\right).$$

Аргументы этих чисел:

$$\arg z=\frac{\pi}{2},\qquad \arg z^2=\pi,\qquad \arg z^3=-\frac{\pi}{2},\qquad \arg z^9=\frac{\pi}{2},\qquad \arg z^{99}=-\frac{\pi}{2}.$$

б) Если $$z=-i,$$ то

$$z^5=(-i)^5=-i,\qquad z^{15}=(-i)^{15}=i,\qquad z^{-25}=(-i)^{-25}=i,\qquad z^{-1001}=(-i)^{-1001}=i.$$

На комплексной плоскости это точки:

• $$z$$ и $$z^5$$ — в точке $$\left(0,-1\right),$$
• $$z^{15},\ z^{-25},\ z^{-1001}$$ — в точке $$\left(0,1\right).$$

Аргументы этих чисел:

$$\arg z=-\frac{\pi}{2},\qquad \arg z^5=-\frac{\pi}{2},\qquad \arg z^{15}=\frac{\pi}{2},\qquad \arg z^{-25}=\frac{\pi}{2},\qquad \arg z^{-1001}=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$z=i,\ z^2=-1,\ z^3=-i,\ z^9=i,\ z^{99}=-i;$$
$$\arg z=\frac{\pi}{2},\ \arg z^2=\pi,\ \arg z^3=-\frac{\pi}{2},\ \arg z^9=\frac{\pi}{2},\ \arg z^{99}=-\frac{\pi}{2}.$$

б) $$z=-i,\ z^5=-i,\ z^{15}=i,\ z^{-25}=i,\ z^{-1001}=i;$$
$$\arg z=-\frac{\pi}{2},\ \arg z^5=-\frac{\pi}{2},\ \arg z^{15}=\frac{\pi}{2},\ \arg z^{-25}=\frac{\pi}{2},\ \arg z^{-1001}=\frac{\pi}{2}.$$