Упр.34.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$z=\frac{z_1}{z_2}$$
• б) $$z=\frac{z_2}{z_1}$$
• в) $$z=\frac{(z_1)^2}{z_2}$$
• г) $$z=\frac{(z_1)^3}{(z_2)^5}$$

Представим данные числа в тригонометрической форме:

$$z_1=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4},$$

$$z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}.$$

а)

$$z=\frac{z_1}{z_2}=1\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

$$z=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-i.$$

Ответ: $$\arg z=-\frac{\pi}{2}.$$

б)

$$z=\frac{z_2}{z_1}=1\cdot\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

$$z=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.$$

Ответ: $$\arg z=\frac{\pi}{2}.$$

в)

$$z=\frac{z_1^2}{z_2}=1^2\cdot\left(\cos\left(\frac{2\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

$$z=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ: $$\arg z=-\frac{\pi}{4}.$$

г)

$$z=\frac{z_1^3}{z_2^5}=1^3\cdot\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{5\cdot3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{5\cdot3\pi}{4}\right)\right).$$

$$z=\cos(-3\pi)+i\sin(-3\pi)=-1.$$

Ответ: $$\arg z=\pi.$$