Упр.34.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Выполните действия, используя правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме:
- $$6\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
- $$(-5-5i)\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
- $$0{,}3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)\cdot20\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
- $$\sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\cdot\left(2+2\sqrt{3}i\right)$$
a) Представим множители в тригонометрической форме и перемножим их:
$$6\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)\cdot \frac13\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
$$=6\cdot \frac13\left(\cos \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
$$=2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=2i.$$
б) Найдём модуль и аргумент числа $$-5-5i$$:
$$|-5-5i|=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2}=5\sqrt2,$$
$$\arg(-5-5i)=-\frac{3\pi}{4}.$$
Тогда
$$-5-5i=5\sqrt2\left(\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$
Умножаем:
$$(-5-5i)\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$
$$=5\sqrt2\left(\cos \left(-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\right)$$
$$=5\sqrt2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=-5\sqrt2\,i.$$
в)
$$0{,}3\left(\cos \left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)\cdot 20\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$
$$=0{,}3\cdot 20\left(\cos \left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)\right)$$
$$=6\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right) =6\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right) =3(\sqrt3+i).$$
г) Представим второй множитель в тригонометрической форме:
$$2+2\sqrt3\,i=4\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right) =4\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$
Тогда
$$\sqrt3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)\cdot \left(2+2\sqrt3\,i\right)$$
$$=\sqrt3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)\cdot 4\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)$$
$$=4\sqrt3\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right)$$
$$=4\sqrt3\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=4i\sqrt3.$$
Ответ
а) $$2i$$; б) $$-5\sqrt2\,i$$; в) $$3(\sqrt3+i)$$; г) $$4i\sqrt3$$.
