Упр.34.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Представьте в алгебраической форме комплексное число:

а) $$5\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$$;

б) $$\frac{1}{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}$$;

в) $$5\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$;

г) $$\frac{1}{\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}$$.

Используем формулы:

$$\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6}=\frac12,$$

$$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12, \quad \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12, \quad \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

1. $$z=5\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right)=5\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=-\frac{5\sqrt3}{2}+\frac52 i.$$

2. $$z=\frac{1}{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}-i\sin \frac{\pi}{3}}=\frac{1}{\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

   $$z=\frac{1}{\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i}\cdot \frac{\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i}{\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i} =\frac{\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i}{\frac14+\frac34} =\frac{\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i}{1} =\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

3. $$z=5\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)=5\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-\frac52+\frac{5\sqrt3}{2}i.$$

4. $$z=\frac{1}{\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\cos \frac{3\pi}{4}-i\sin \frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

   $$z=\frac{1}{-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i}\cdot \frac{-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i}{-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i} =\frac{-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i}{\frac12+\frac12} =-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i =\frac{\sqrt2}{2}(-1+i).$$

Ответ: а) $$-\frac{5\sqrt3}{2}+\frac52 i$$; б) $$\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$; в) $$-\frac52+\frac{5\sqrt3}{2}i$$; г) $$\frac{\sqrt2}{2}(-1+i)$$.