Упр.34.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Преобразуем каждое число, используя формулы

$$1-\cos 2\alpha=2\sin^2\alpha,$$

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.$$

1. $$z=1-\cos 100^\circ+i\sin 100^\circ.$$

   Так как $$100^\circ=2\cdot 50^\circ,$$ то

   $$z=2\sin^2 50^\circ+i\cdot 2\sin 50^\circ\cos 50^\circ.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$z=2\sin 50^\circ\bigl(\sin 50^\circ+i\cos 50^\circ\bigr).$$

   Поскольку $$\sin 50^\circ=\cos 40^\circ,$$ а $$\cos 50^\circ=\sin 40^\circ,$$ получаем

   $$z=2\sin 50^\circ\bigl(\cos 40^\circ+i\sin 40^\circ\bigr).$$

2. $$z=\sin \frac{4\pi}{7}+i\left(1-\cos \frac{4\pi}{7}\right).$$

   Так как $$\frac{4\pi}{7}=2\cdot \frac{2\pi}{7},$$ то

   $$z=\sin \frac{4\pi}{7}+i\left(2\sin^2 \frac{2\pi}{7}\right).$$

   Но $$\sin \frac{4\pi}{7}=2\sin \frac{2\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7},$$ значит

   $$z=2\sin \frac{2\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}+i\cdot 2\sin^2 \frac{2\pi}{7}.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$z=2\sin \frac{2\pi}{7}\left(\cos \frac{2\pi}{7}+i\sin \frac{2\pi}{7}\right).$$

3. $$z=\sin \frac{6\pi}{11}+i\left(1-\cos \frac{6\pi}{11}\right).$$

   Так как $$\frac{6\pi}{11}=2\cdot \frac{3\pi}{11},$$ то

   $$z=\sin \frac{6\pi}{11}+i\left(2\sin^2 \frac{3\pi}{11}\right).$$

   А поскольку $$\sin \frac{6\pi}{11}=2\sin \frac{3\pi}{11}\cos \frac{3\pi}{11},$$ получаем

   $$z=2\sin \frac{3\pi}{11}\cos \frac{3\pi}{11}+i\cdot 2\sin^2 \frac{3\pi}{11}.$$

   Тогда

   $$z=2\sin \frac{3\pi}{11}\left(\cos \frac{3\pi}{11}+i\sin \frac{3\pi}{11}\right).$$

4. $$z=1-\cos 250^\circ+i\sin 610^\circ.$$

   Сначала упростим углы:

   $$\cos 250^\circ=\cos(180^\circ+70^\circ)=-\cos 70^\circ,$$

   $$\sin 610^\circ=\sin(540^\circ+70^\circ)=-\sin 70^\circ.$$

   Тогда

   $$z=1+\cos 70^\circ-i\sin 70^\circ.$$

   Так как $$70^\circ=2\cdot 35^\circ,$$ то

   $$1+\cos 70^\circ=2\cos^2 35^\circ,$$

   и значит

   $$z=2\cos^2 35^\circ-2i\sin 35^\circ\cos 35^\circ.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$z=2\cos 35^\circ\left(\cos 35^\circ-i\sin 35^\circ\right).$$

   Так как $$\cos 35^\circ=\sin 55^\circ,$$ а $$\cos 35^\circ-i\sin 35^\circ=\cos(-35^\circ)+i\sin(-35^\circ),$$ можно записать

   $$z=2\sin 125^\circ\left(\cos(-35^\circ)+i\sin(-35^\circ)\right).$$

Ответ

а) $$2\sin 50^\circ\left(\cos 40^\circ+i\sin 40^\circ\right);$$
б) $$2\sin \frac{2\pi}{7}\left(\cos \frac{2\pi}{7}+i\sin \frac{2\pi}{7}\right);$$
в) $$2\sin \frac{3\pi}{11}\left(\cos \frac{3\pi}{11}+i\sin \frac{3\pi}{11}\right);$$
г) $$2\cos 35^\circ\left(\cos 35^\circ-i\sin 35^\circ\right).$$