Упр.34.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Представим каждое комплексное число в виде $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi),$$ где $$r=|z|.$$
$$z=3-4i.$$
$$|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5.$$
Так как $$\cos \varphi=\frac{3}{5},\quad \sin \varphi=-\frac{4}{5},$$ то
$$\varphi=-\arccos \frac{3}{5}.$$
Следовательно,
$$z=5\left(\cos\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)+i\sin\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)\right).$$
$$z=-5+12i.$$
$$|z|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.$$
Так как $$\cos \varphi=-\frac{5}{13},\quad \sin \varphi=\frac{12}{13},$$ то
$$\varphi=\arccos\left(-\frac{5}{13}\right).$$
Следовательно,
$$z=13\left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)+i\sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)\right).$$
$$z=6+8i.$$
$$|z|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$
Так как $$\cos \varphi=0{,}6,\quad \sin \varphi=0{,}8,$$ то
$$\varphi=\arccos 0{,}6.$$
Следовательно,
$$z=10\left(\cos(\arccos 0{,}6)+i\sin(\arccos 0{,}6)\right).$$
$$z=-15-8i.$$
$$|z|=\sqrt{(-15)^2+(-8)^2}=\sqrt{225+64}=17.$$
Так как число находится в третьей четверти, то
$$\varphi=-\pi+\arccos \frac{15}{17}.$$
Следовательно,
$$z=17\left(\cos\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)+i\sin\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)\right).$$
Ответ:
$$\begin{aligned} &\text{а) } z=5\left(\cos\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)+i\sin\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)\right);\\ &\text{б) } z=13\left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)+i\sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)\right);\\ &\text{в) } z=10\left(\cos(\arccos 0{,}6)+i\sin(\arccos 0{,}6)\right);\\ &\text{г) } z=17\left(\cos\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)+i\sin\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)\right). \end{aligned}$$
