Упр.34.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Запишем каждое комплексное число в виде $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi).$$
$$z=4-4\sqrt{3}\,i.$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{4}{8}=\frac12,\qquad \sin \varphi=\frac{-4\sqrt{3}}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, $$\varphi=-\frac{\pi}{3}.$$
Итак,
$$z=8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$
$$z=1+\sqrt{3}\,i.$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{1}{2},\qquad \sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, $$\varphi=\frac{\pi}{3}.$$
Итак,
$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$
$$z=-2-2\sqrt{3}\,i.$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{-2}{4}=-\frac12,\qquad \sin \varphi=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, $$\varphi=-\frac{2\pi}{3}.$$
Итак,
$$z=4\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right).$$
$$z=-\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac34}=\sqrt{1}=1.$$
Тогда
$$\cos \varphi=-\frac12,\qquad \sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, $$\varphi=\frac{2\pi}{3}.$$
Итак,
$$z=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$$
Ответ:
$$\begin{aligned} &\text{а) } z=8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right),\\ &\text{б) } z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right),\\ &\text{в) } z=4\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right),\\ &\text{г) } z=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}. \end{aligned}$$
