Упр.34.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$z=4+4i=4\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i\right).$$

$$|z|=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2,$$

$$\cos\varphi=\frac{4}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{4}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$

откуда $$\varphi=\frac{\pi}{4}.$$

Следовательно,

$$z=4\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$$

б) $$z=1-i=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right).$$

$$|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,$$

$$\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{-1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2},$$

значит, $$\varphi=-\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$z=\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

в) $$z=-2+2i=2\sqrt2\left(-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i\right).$$

$$|z|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2,$$

$$\cos\varphi=\frac{-2}{2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$

откуда $$\varphi=\frac{3\pi}{4}.$$

Следовательно,

$$z=2\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right).$$

г) $$z=-2-2i=2\sqrt2\left(-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i\right).$$

$$|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2,$$

$$\cos\varphi=\frac{-2}{2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{-2}{2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2},$$

значит, $$\varphi=-\frac{3\pi}{4}.$$

Тогда

$$z=2\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

Ответ

а) $$4\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right);$$ б) $$\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right);$$ в) $$2\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right);$$ г) $$2\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$