Упр.34 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(1+x)(2+x)}{(1-x)(2-x)}\ge 1.$$

Перенесём $$1$$ в левую часть:

$$\frac{(1+x)(2+x)-(1-x)(2-x)}{(1-x)(2-x)}\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{(x^2+3x+2)-(x^2-3x+2)}{(1-x)(2-x)}\ge 0,$$

$$\frac{6x}{(1-x)(2-x)}\ge 0.$$

Так как $$(1-x)(2-x)=(x-1)(x-2),$$

получаем

$$\frac{6x}{(x-1)(x-2)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=0,\; x=1,\; x=2.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in[0;1)\cup(2;+\infty).$$

б) Решим неравенство

$$\frac{2}{x}-\frac{3}{x-4}<\frac{5}{2}.$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2}{x}-\frac{3}{x-4}-\frac{5}{2}<0,$$

$$\frac{4(x-4)-6x-5x(x-4)}{2x(x-4)}<0.$$

Упростим числитель:

$$\frac{-5x^2+18x-16}{2x(x-4)}<0,$$

$$\frac{5x^2-18x+16}{2x(x-4)}>0.$$

Найдём корни числителя:

$$D=(-18)^2-4\cdot 5\cdot 16=324-320=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{18\pm 2}{10},$$

$$x_1=\frac{8}{5},\quad x_2=2.$$

Тогда

$$\frac{5(x-\frac85)(x-2)}{2x(x-4)}>0.$$

С учётом точек разрыва $$x=0$$ и $$x=4$$ получаем

$$x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac85;2\right)\cup(4;+\infty).$$

в) Решим неравенство

$$\frac{6}{x-1}-\frac{13}{x-2}\le 2.$$

Перенесём $$2$$ в левую часть:

$$\frac{6}{x-1}-\frac{13}{x-2}-2\le 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{6(x-2)-13(x-1)-2(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}\le 0.$$

Упростим числитель:

$$\frac{-2x^2+x+3}{(x-1)(x-2)}\le 0,$$

$$\frac{2x^2-x-3}{(x-1)(x-2)}\ge 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{(2x-3)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-1,\; x=1,\; x=\frac32,\; x=2.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-\infty;-1]\cup(1;\frac32]\cup(2;+\infty).$$

Ответ:

а) $$[0;1)\cup(2;+\infty)$$

б) $$(-\infty;0)\cup\left(\frac85;2\right)\cup(4;+\infty)$$

в) $$(-\infty;-1]\cup(1;\frac32]\cup(2;+\infty)$$