Упр.34.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент: а) больше чем $$\frac{\pi}{2}$$, но меньше чем $$\frac{3\pi}{2}$$; б) больше чем $$-\frac{3\pi}{2}$$, но меньше чем $$\frac{\pi}{6}$$; в) больше чем $$\frac{3\pi}{4}$$ или меньше чем $$\frac{\pi}{6}$$; г) отличается от $$-\frac{2\pi}{3}$$ не более чем на $$\frac{\pi}{6}$$.

Обозначим аргумент комплексного числа через $$\alpha.$$ Множество точек на комплексной плоскости задаётся угловой областью между соответствующими лучами, причём граничные лучи не входят, если стоят знаки строгого неравенства.

1. $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}.$$

   Это сектор между лучами с аргументами $$90^\circ$$ и $$135^\circ$$ без границ.

2. $$-\frac{3\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{6}.$$

   Это угловая область между лучами $$-135^\circ$$ и $$30^\circ$$ без граничных лучей.

3. $$\alpha>\frac{3\pi}{4}\ \text{или}\ \alpha<\frac{\pi}{6}.$$

   Это объединение двух областей: вне сектора между лучами $$135^\circ$$ и $$30^\circ$$.

4. $$\left|\alpha+\frac{2\pi}{3}\right|\le \frac{\pi}{6}.$$

   Отсюда

   $$-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\le \alpha \le -\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6},$$

   то есть

   $$-\frac{5\pi}{6}\le \alpha \le -\frac{\pi}{2}.$$

   Это сектор между лучами $$-150^\circ$$ и $$-90^\circ$$ вместе с границами.

Ответ: а) $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}$$; б) $$-\frac{3\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{6}$$; в) $$\alpha>\frac{3\pi}{4}$$ или $$\alpha<\frac{\pi}{6}$$; г) $$-\frac{5\pi}{6}\le \alpha \le -\frac{\pi}{2}$$.