Упр.34.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Число $$z$$ задано в тригонометрической форме. Укажите стандартную тригонометрическую форму:
   а) $$z=\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}$$;
   б) $$z=\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{13\pi}{6}\right)$$;
   в) $$z=\cos\frac{99\pi}{4}+i\sin\frac{99\pi}{4}$$;
   г) $$z=\cos\left(-\frac{103\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{103\pi}{6}\right)$$.

Чтобы записать число в стандартной тригонометрической форме, нужно привести аргумент к промежутку $$[0;2\pi).$$

Ход решения

1. $$z=\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}.$$

   Аргумент уже принадлежит промежутку $$[0;2\pi),$$ значит стандартная форма не меняется:

   $$z=\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}.$$

2. $$z=\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{13\pi}{6}\right).$$

   Прибавим $$2\pi=\frac{12\pi}{6}:$$

   $$-\frac{13\pi}{6}+2\pi=-\frac{13\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right).$$

3. $$z=\cos \frac{99\pi}{4}+i\sin \frac{99\pi}{4}.$$

   Вычтем $$24\pi=\frac{96\pi}{4}:$$

   $$\frac{99\pi}{4}-24\pi=\frac{99\pi}{4}-\frac{96\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}.$$

4. $$z=\cos\left(-\frac{103\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{103\pi}{6}\right).$$

   Прибавим $$18\pi=\frac{108\pi}{6}:$$

   $$-\frac{103\pi}{6}+18\pi=-\frac{103\pi}{6}+\frac{108\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$

   Значит,

   $$z=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$z=\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6};$$
б) $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right);$$
в) $$z=\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4};$$
г) $$z=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}.$$