Упр.34.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Число $$z$$ задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму:

• а) $$z=\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}$$;
• б) $$z=\cos\frac{10\pi}{4}+i\sin\frac{10\pi}{4}$$;
• в) $$z=\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}$$;
• г) $$z=\cos\frac{101\pi}{4}+i\sin\frac{101\pi}{4}$$.

Чтобы записать число в стандартной тригонометрической форме, нужно привести аргумент к промежутку $$(-\pi;\pi]$$, прибавляя или вычитая $$2\pi$$.

1. $$z=\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}$$
   
   $$\frac{7\pi}{4}-2\pi=\frac{7\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$$
   
   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$
2. $$z=\cos \frac{10\pi}{3}+i\sin \frac{10\pi}{3}$$
   
   $$\frac{10\pi}{3}-4\pi=\frac{10\pi}{3}-\frac{12\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$
   
   $$z=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$$
3. $$z=\cos \frac{9\pi}{4}+i\sin \frac{9\pi}{4}$$
   
   $$\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$
   
   $$z=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}$$
4. $$z=\cos \frac{101\pi}{6}+i\sin \frac{101\pi}{6}$$
   
   $$\frac{101\pi}{6}-16\pi=\frac{101\pi}{6}-\frac{96\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$$
   
   $$z=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$; б) $$z=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$$; в) $$z=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}$$; г) $$z=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}$$.