Упр.33.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $$z_0=1$$, $$z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$, $$z_2=(z_1)^2$$, $$z_3=(z_1)^3$$, $$z_4=(z_1)^4$$, $$z_5=(z_1)^5$$.
б) Чему равна величина угла $$\angle z_0Oz_1$$, $$\angle z_1Oz_2$$, …, $$\angle z_5Oz_0$$?
в) На каком расстоянии от начала координат находятся все эти точки?
г) Перечислите все пары точек, соответствующих сопряжённым друг другу числам. Сколько таких пар?
Запишем данные числа в тригонометрической форме:
$$z_0=1=\cos 0+i\sin 0,$$
$$z_1=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} z_2&=z_1^2=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_3&=z_1^3=\cos \pi+i\sin \pi=-1,\\ z_4&=z_1^4=\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_5&=z_1^5=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned}$$
а)
На координатной плоскости это точки:
$$z_0(1,0),\quad z_1\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad z_2\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad z_3(-1,0),\quad z_4\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad z_5\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$
б)
Все соседние точки на окружности разделены углом $$60^\circ$$, поэтому
$$\angle z_0Oz_1=\angle z_1Oz_2=\angle z_2Oz_3=\angle z_3Oz_4=\angle z_4Oz_5=\angle z_5Oz_0=60^\circ.$$
в)
Все точки лежат на единичной окружности, значит расстояние от начала координат до каждой из них равно $$1$$.
г)
Сопряжённые числа соответствуют точкам, симметричным относительно оси абсцисс:
$$z_1 \text{ и } z_5,\qquad z_2 \text{ и } z_4.$$
Всего таких пар $$2$$.
Ответ: а) $$z_0(1,0),\ z_1\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\ z_2\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\ z_3(-1,0),\ z_4\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),\ z_5\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right);$$ б) $$60^\circ;$$ в) $$1;$$ г) $$z_1 \text{ и } z_5,\ z_2 \text{ и } z_4,\ 2$$ пары.
