Упр.33.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $$z_0=1$$, $$z_1=1+i$$, $$z_2=(1+i)^2$$, $$z_3=(1+i)^3$$, …, $$z_7=(1+i)^7$$.
б) Чему равна величина угла: $$\angle z_0Oz_1$$, $$\angle z_1Oz_2$$, …, $$\angle z_6Oz_7$$, $$\angle z_7Oz_0$$?
в) Перечислите все пары точек, лежащие по разные стороны от оси абсцисс. Сколько таких пар?
г) Запишите все числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно. Сколько таких чисел?
Вычислим последовательно степени числа $$1+i$$:
$$z_0=1,\quad z_1=1+i,$$
$$z_2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i,$$
$$z_3=(1+i)^3=(1+i)\cdot 2i=-2+2i,$$
$$z_4=(1+i)^4=(2i)^2=-4,$$
$$z_5=(1+i)^5=-4-4i,$$
$$z_6=(1+i)^6=(2i)^3=-8i,$$
$$z_7=(1+i)^7=(1+i)\cdot(-8i)=8-8i.$$
Точки на координатной плоскости имеют координаты:
$$z_0(1,0),\ z_1(1,1),\ z_2(0,2),\ z_3(-2,2),\ z_4(-4,0),\ z_5(-4,-4),\ z_6(0,-8),\ z_7(8,-8).$$
Все соседние точки получаются поворотом на один и тот же угол, поэтому
$$\angle z_0Oz_1=\angle z_1Oz_2=\dots=\angle z_6Oz_7=\angle z_7Oz_0=45^\circ.$$
Точки, лежащие по разные стороны от оси абсцисс, образуют пары, в которых одна точка имеет положительную мнимую часть, а другая — отрицательную:
$$(z_1,z_5),\ (z_1,z_6),\ (z_1,z_7),\ (z_2,z_5),\ (z_2,z_6),\ (z_2,z_7),\ (z_3,z_5),\ (z_3,z_6),\ (z_3,z_7).$$
Всего таких пар $$9$$.
Произведение действительной и мнимой частей отрицательно у чисел, лежащих во II и IV четвертях. Это:
$$z_3,\ z_7.$$
Всего таких чисел $$2$$.
Ответ
а) $$z_0(1,0),\ z_1(1,1),\ z_2(0,2),\ z_3(-2,2),\ z_4(-4,0),\ z_5(-4,-4),\ z_6(0,-8),\ z_7(8,-8).$$
б) $$45^\circ$$.
в) $$9$$ пар: $$(z_1,z_5),\ (z_1,z_6),\ (z_1,z_7),\ (z_2,z_5),\ (z_2,z_6),\ (z_2,z_7),\ (z_3,z_5),\ (z_3,z_6),\ (z_3,z_7).$$
г) $$z_3,\ z_7$$; всего $$2$$ числа.
