Упр.33.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$z=x+iy,$$ где $$x=\operatorname{Re} z,$$ $$y=\operatorname{Im} z.$$ Тогда каждое из равенств задаёт на координатной плоскости соответствующую линию.

1. $$|\operatorname{Re} z|-|\operatorname{Im} z|=1$$

   То есть $$|x|-|y|=1,$$ или $$|y|=|x|-1.$$

   Это множество точек, для которых

   $$y=|x|-1 \quad \text{и} \quad y=1-|x|.$$

   График состоит из двух симметричных ломаных с вершинами в точках $$\left(0,1\right)$$ и $$\left(0,-1\right).$$

2. $$\left(\operatorname{Re} z\right)^2=\operatorname{Im} z+1$$

   То есть $$x^2=y+1,$$ откуда

   $$y=x^2-1.$$

   Это парабола с вершиной $$\left(0,-1\right),$$ ветви направлены вверх.

3. $$\left(\operatorname{Re} z\right)^2=\operatorname{Im} z-1$$

   То есть $$x^2=y-1,$$ откуда

   $$y=x^2+1.$$

   Это парабола с вершиной $$\left(0,1\right),$$ ветви направлены вверх.

4. $$\left(\operatorname{Re} z\right)\left(\operatorname{Im} z\right)=1$$

   То есть $$xy=1,$$ или

   $$y=\frac{1}{x}, \quad x\ne 0.$$

   Это гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Ответ: а) $$|y|=|x|-1$$; б) $$y=x^2-1$$; в) $$y=x^2+1$$; г) $$y=\frac{1}{x},\ x\ne 0.$$