Упр.33.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$z\operatorname{Re}(z-4)=i-4$$; б) $$z\operatorname{Im}(z+2i)=7-i$$; в) $$z(\operatorname{Re}z-6)=21i-9$$; г) $$z(\operatorname{Im}z+4)=10+4i$$.
Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x=\operatorname{Re} z,$$ $$y=\operatorname{Im} z.$$ Тогда по условию приравниваем действительную и мнимую части.
а)
$$z\,\operatorname{Re}(z-4)=i-4$$
Так как $$\operatorname{Re}(z-4)=x-4,$$ получаем
$$(x+yi)(x-4)=i-4.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-4x+(xy-4y)i=-4+i.$$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$\begin{cases} x^2-4x=-4,\\ xy-4y=1. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x^2-4x+4=0,$$
$$(x-2)^2=0,$$
$$x=2.$$
Из второго уравнения:
$$2y-4y=1,$$
$$-2y=1,$$
$$y=-\frac12.$$
Следовательно,
$$z=2-\frac12 i.$$
б)
$$z\,\operatorname{Im}(z+2i)=7-i$$
Так как $$\operatorname{Im}(z+2i)=y+2,$$ имеем
$$(x+yi)(y+2)=7-i.$$
Раскроем скобки:
$$xy+2x+(y^2+2y)i=7-i.$$
Тогда
$$\begin{cases} xy+2x=7,\\ y^2+2y=-1. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y^2+2y+1=0,$$
$$(y+1)^2=0,$$
$$y=-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-x+2x=7,$$
$$x=7.$$
Значит,
$$z=7-i.$$
в)
$$\overline z\,(\operatorname{Re} z-6)=21i-9$$
Так как $$\overline z=x-yi,$$ а $$\operatorname{Re} z=x,$$ получаем
$$(x-yi)(x-6)=21i-9.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-6x-(xy-6y)i=-9+21i.$$
Приравниваем части:
$$\begin{cases} x^2-6x=-9,\\ 6y-xy=21. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x^2-6x+9=0,$$
$$(x-3)^2=0,$$
$$x=3.$$
Из второго уравнения:
$$6y-3y=21,$$
$$3y=21,$$
$$y=7.$$
Следовательно,
$$z=3+7i.$$
г)
$$\overline z\,(\operatorname{Im} z+4)=10+4i$$
Так как $$\operatorname{Im} z=y,$$ имеем
$$(x-yi)(y+4)=10+4i.$$
Раскроем скобки:
$$xy+4x-(y^2+4y)i=10+4i.$$
Тогда
$$\begin{cases} xy+4x=10,\\ -y^2-4y=4. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y^2+4y+4=0,$$
$$(y+2)^2=0,$$
$$y=-2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-2x+4x=10,$$
$$2x=10,$$
$$x=5.$$
Значит,
$$z=5-2i.$$
Ответ
а) $$z=2-\frac12 i$$; б) $$z=7-i$$; в) $$z=3+7i$$; г) $$z=5-2i$$.
