Упр.33.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x=\operatorname{Re}z,\quad y=\operatorname{Im}z.$$ Тогда $$\overline z=x-yi.$$

а)

$$z\,\operatorname{Re}z=\overline z\,\operatorname{Im}\overline z$$

Подставим:

$$(x+yi)x=(x-yi)(-y).$$

Раскроем скобки:

$$x^2+xyi=-xy+y^2i.$$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} x^2=-xy,\\ xy=y^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$x(x+y)=0,$$ из второго $$y(x-y)=0.$$ Совместно это возможно только при $$x=0,\ y=0.$$

Значит, $$z=0.$$

б)

$$z\,\operatorname{Re}\overline z=\overline z\,\operatorname{Im}z$$

Так как $$\operatorname{Re}\overline z=x,\quad \operatorname{Im}z=y,$$ получаем:

$$(x+yi)x=(x-yi)y.$$

Тогда

$$x^2+xyi=xy-y^2i.$$

Сравниваем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} x^2=xy,\\ xy=-y^2. \end{cases}$$

Отсюда $$x(x-y)=0$$ и $$y(x+y)=0,$$ значит, $$x=0,\ y=0.$$ Следовательно, $$z=0.$$

в)

$$z\,\operatorname{Im}\overline z=\overline z\,\operatorname{Re}z$$

Имеем $$\operatorname{Im}\overline z=-y,\quad \operatorname{Re}z=x.$$ Тогда

$$(x+yi)(-y)=(x-yi)x.$$

Раскрываем скобки:

$$-xy-y^2i=x^2-xyi.$$

Сравниваем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} -xy=x^2,\\ -y^2=-xy. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x(x+y)=0,\\ y(x-y)=0. \end{cases}$$

Отсюда снова получаем $$x=0,\ y=0,$$ значит, $$z=0.$$

г)

$$z\,\operatorname{Re}z=\overline z\,\operatorname{Re}\overline z$$

Так как $$\operatorname{Re}z=\operatorname{Re}\overline z=x,$$ то

$$(x+yi)x=(x-yi)x.$$

После раскрытия скобок:

$$x^2+xyi=x^2-xyi.$$

Следовательно,

$$2xyi=0,\quad xy=0.$$

Значит, $$x=0$$ или $$y=0.$$ Поэтому $$z$$ — либо действительное число, либо чисто мнимое число.

Ответ: а) $$z=0$$; б) $$z=0$$; в) $$z=0$$; г) $$z$$ — любое действительное или чисто мнимое число.