Упр.33.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$z\operatorname{Im}z-i$$; б) $$z\operatorname{Im}z=-i$$; в) $$z(\operatorname{Im}z)^2=i$$; г) $$z(\operatorname{Im}z)^2=-i$$.
Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x,y\in \mathbb{R}.$$ Тогда $$\operatorname{Im} z=y.$$
$$z\,\operatorname{Im} z=i$$
Подставим $$z=x+yi$$:
$$(x+yi)y=i$$
$$xy+y^2i=i$$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$\begin{cases} xy=0,\\ y^2=1. \end{cases}$$
Из $$y^2=1$$ получаем $$y=\pm 1$$. Тогда из $$xy=0$$ следует $$x=0$$.
Значит, $$z=\pm i.$$
$$z\,\operatorname{Im} z=-i$$
Подставим $$z=x+yi$$:
$$(x+yi)y=-i$$
$$xy+y^2i=-i$$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$\begin{cases} xy=0,\\ y^2=-1. \end{cases}$$
Но у действительного числа $$y$$ не может быть $$y^2=-1$$. Следовательно, решений нет.
$$z(\operatorname{Im} z)^2=i$$
Подставим $$z=x+yi$$:
$$(x+yi)y^2=i$$
$$xy^2+y^3i=i$$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$\begin{cases} xy^2=0,\\ y^3=1. \end{cases}$$
Из $$y^3=1$$ получаем $$y=1$$, тогда из $$xy^2=0$$ следует $$x=0$$.
Значит, $$z=i.$$
$$z(\operatorname{Im} z)^2=-i$$
Подставим $$z=x+yi$$:
$$(x+yi)y^2=-i$$
$$xy^2+y^3i=-i$$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$\begin{cases} xy^2=0,\\ y^3=-1. \end{cases}$$
Из $$y^3=-1$$ получаем $$y=-1$$, тогда из $$xy^2=0$$ следует $$x=0$$.
Значит, $$z=-i.$$
Ответ: а) $$z=\pm i$$; б) решений нет; в) $$z=i$$; г) $$z=-i$$.
